ただ中心極限定理を証明するだけの記事

今回は私が数式記入の練習をしたいためだけに、中心極限定理という、（教授曰く）『神のような定理』を示そうと思います。

示すこと
主張①の証明
- Step1
- Step2
- Step3
- Step4
主張②の証明
例

示すこと

${X_i \in \mathcal{m}(\mathscr{G}) ~ i=1,2,\ldots ~}$ は同分布な確率変数列とする。

I： ${\mathbb{E}[X_i|\mathscr{G}_{i-1}]=0}$

II： ${\mathbb{E}[X_i^2|\mathscr{G}_{i-1}]=1}$

I・IIをともに満たすとき、以下が成立。

主張①：有界連続関数 ${f}$ に対して

${\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[f(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i)]=\int_{-\infty}^\infty} f(z)\phi(z) dz$

主張②： ${x\in \mathbb{R}}$ に対して

${\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i \le x]=\int_{-\infty}^x}\phi(z) dz$

ただし、 ${\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp(-\frac{z^2}{2})}$

主張①の証明

Step1

${g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ が ${C^2}$ 級なら、

${g(1)\\ =g(0)+\int_0 ^1 g'(x)dx\\ =g(0)+g'(0)+\int_0 ^1 (1-u)g''(u)du\\ =g(0)+g'(0)+\frac{1}{2}g''(0)+\int_0 ^1 (1-u)(g''(u)-g''(0))du}$

よって、 ${|g(1)-(g(0)+g'(0)+\frac{1}{2}g''(0))|\le \sup_{u\in [0,1]}|g''(u)-g(0)|}$

2変数関数 ${h}$ と ${(x_0,y_0),(x_1,y_1)\in \mathbb{R}^2}$ に対して

${g(u)=h(x_0+u(x_1-x_0),y_0+u(y_1-y_0))}$ とおくと、

${g(1)=h(x_1,y_1)~~~~~~ g'(0)=h(x_0,y_0)}$

${g'(0)=(x_1-x_0)\frac{\partial h'}{\partial x}(x_0,y_0)+(y_1-y_0)\frac{\partial h'}{\partial y}(x_0,y_0)\\=\varepsilon \cdot \nabla h(x_0,y_0)}$

ここで、 ${\varepsilon =(x_1-x_0,y_1-y_0)~~~~~~\nabla h=(h_x,h_y)}$

${g''(0)=(x_1-x_0)^2\frac{\partial ^2 h}{\partial x^2}(x_0,y_0)+2(x_1-x_0)(y_1-y_0)\frac{\partial ^2 h}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)+(y_1-y_0)^2\frac{\partial ^2 h}{\partial y^2}(x_0,y_0)\\ (\varepsilon \nabla ^2 h(x_0,y_0))\cdot \varepsilon}$

ここで、 ${\nabla ^2 h= \begin{pmatrix} h_{xx} & h_{xy}\\ h_{yx} & h_{yy}\\ \end{pmatrix} }$

よって、 ${|h(x_1,y_1)-h(x_0,y_0)-\varepsilon \cdot \nabla h(x_0,y_0)-\frac{1}{2}(\varepsilon \nabla ^2 h(x_0,y_0))\cdot \varepsilon|\\ \le \sup_{u\in [0,1]}||\nabla^2 h((x_0,y_0)+\varepsilon u)-\nabla^2 h(x_0,y_0)||\cdot ||\varepsilon||^2}$

Step2

${f\in C^\infty}$ に対して、 ${p(x,t)=\int_{-\infty}^\infty f(x+\sqrt{1-t}z)\phi (z)dz}$ とおく。

変数変換で

${p(x,t)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\frac{1}{\sqrt{2 \pi (1-t)}}\exp(-\frac{(x-y)^2}{2(1-t)})dy }$ ともかける。

${\phi (x,s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}\exp(-\frac{x^2}{2s})は }$

${\frac{\partial \phi}{\partial s}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} }（熱方程式）$ の解なので、 ${p}$ は

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}=0\\ p(x,1)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\phi (z)dz=f(x)\int_{-\infty}^\infty \phi (z)dz=f(x) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

をみたす ${f\in C^\infty}$ なので、

${p}$ も ${C^\infty}$ 級で導関数はすべて有界。

Step3

Step4

主張②の証明

ぬああああ限界だあああああああ

これ、裏ではこんな作業をして数式を書いているんですよ↓

f:id:shomapy:20180822215221j:plain

だるすぎ笑

ちなみに本当はまだ半分以上証明が残ってます…

まあどうせ、数学ガチ勢はこんなブログ見ていないと思うので、ギブさせてもらいます。

とりあえず、『証明しんどい』ということだけわかっていただけたらと思います。

大学の講義で習ったときは、この定理の証明だけで90分の授業が終わりました笑

まあざっくりどんな定理かを噛み砕いていうと、

いかなる確率密度関数列も、それらが同分布であれば、正規分布に近似される

という定理です。（全然噛み砕いてない）

まあ、教授が『神のような定理』って言ってたので、役に立つ定理なのだと思います。

例を見ましょう！例を！！

これは誰でもざっくりとはわかるように説明するので読んでください笑

例

「4択問題が20問ある。ランダムに答えて10問以上正解する確率はどれほどか？」

センター試験を4つ角のある鉛筆を転がして答えて、10問以上正解する確率はどれほどか？といったところです。笑

今求めたいのは、『10回以上（つまり9回より多く）正解する確率』なので、 ${\mathbb{P}[\sum_{i=1}^{20} X_i \gt 9]}$

${n}$ は『試行回数』なので、今回は ${20}$

${\mu}$ は『期待値』なので、今回は ${\frac{1}{4}}$ （←正解を１、不正解を０とすると、 $1\times{\frac{1}{4}+0\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}$ ）

${\sigma^2}$ は『分散』なので、今回は ${\frac{3}{16}}$ （←分散＝二乗の期待値-期待値の二乗 ${=\frac{1}{4}-{\frac{1}{4}}^2=\frac{3}{16}}$ ）

先程の定理の『主張②』を少し応用すると、

${\mathbb{P}[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n \frac{X_i-\mu}{\sqrt{\sigma ^2}} \le x]=\int_{-\infty}^x}\phi(z) dz$ が

${\int_{-\infty}^x \phi(z) dz}$

に近似されます。ので、これの形にうまく持っていきます。

${\mathbb{P}[ \sum_{i=1}^{20} X_i \gt 9]\\ = \mathbb{P}[ \sum_{i=1}^{20} (X_i-\frac{1}{4}) \gt 4 ]\\ =\mathbb{P}[\frac{1}{\sqrt{20}}\sum_{i=1}^{20} \frac{X_i-\frac{1}{4}}{\sqrt{3/16}} \gt 4\times \frac{1}{\sqrt{20}}\times \frac{1}{\sqrt{3/16}}]\\ \approx 1-\mathbb{P}[\frac{1}{\sqrt{20}}\sum_{i=1}^{20} \frac{X_i-\frac{1}{4}}{\sqrt{3/16}} \le 2.07 ]\\ \approx 1-\int_{-\infty}^{2.07} \phi (z)dz\\ =\int_{2.07}^{\infty} \phi (z)dz \\ \approx 0.00192 }$